第2章 微分作用素による運動方程式の記述

1粒子の運動をHamilton形式で見ることから始めましょう。 粒子の位置を q 、運動量を p とし、この粒子の Hamitonianを H とします。 運動方程式は以下のようになります。

(01)

ここで (p,q) をベクトルとして見てみましょう。 すると、このベクトルの時間変化は、Hamitonianの形と、 そのベクトル自身によって決まることになります。

つまりベクトルに対して、Hamitonianから決まる特殊な作用を施すと、 その時間変化のベクトルになると見ることができます。 その作用素を D と表すことにしましょう。

(02)

このように書くと D が行列の様ですが、行列はなく、 ベクトルからその時間変化を表すベクトルに変換する作用素です。 この作用素は時刻tによって変化しません。 Hのみによってきまるのです。

ところで、普通のスカラー量のx,kに対しての微分方程式とその解

(03)

(04)

ここで、作用素の指数が登場しましたが、これの意味は次の通りです。

(05)

つまり exp のテイラー展開のそのままです。 テイラー展開ですので、t があまり大きいと具合がわるいので、 以後は有限の短い時間 Δt に置き換えます。 D を (p,q) に作用させると、(02)式より その1階微分が求まります。

D を (p,q) に2回作用させると、

(06)

よって D を n 回作用させると (p,q) の n 階微分が求まることになります。

(07)

(08)

これは (p(Δt),q(Δt)) の (p(0),q(0)) まわりのテイラー展開になるではないですか。 よって(04)式には正当性があるのです。